【題目】已知橢圓C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的離心率為 
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為 
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標為﹣ 
，求斜率k的值；
②若點M（﹣ 
，0），求證： 
為定值．
【答案】
（1）
解：因為 
滿足a2=b2+c2， 
，
根據橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為 
，可得 
．
從而可解得 
，
所以橢圓方程為 
（2）
解：①將y=k（x+1）代入 中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0
△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0， 
因為AB中點的橫坐標為 
，所以 
，解得 
②證明：由①知 ， 
所以 
= 
= 
= 
= 
= 
【解析】（1）根據橢圓的離心率，三角形的面積及橢圓幾何量之間的關系，建立等式，即可求得橢圓的標準方程；（2）①直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及線段AB中點的橫坐標為 ，即可求斜率k的值；②利用韋達定理，及向量的數量積公式，計算即可證得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：
，焦點在y軸：
．
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ 
）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側的第一個最高點和最低點分別為（x0 ， 2），（x0+ ，﹣2）．
（1）求函數y=f（x）的解析式和單調遞增區間；
（2）若當0≤x≤ 
時，方程f（x）﹣m=0有兩個不同的實數根α，β，試討論α+β的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的圖象關于直線 
對稱，且兩相鄰對稱中心之間的距離為 
．
（1）求函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）若關于x的方程f（x）+log2k=0在區間 
上總有實數解，求實數k的取值范圍．
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【題目】已知某算法的程序框圖如圖所示，若將輸出（x，y）的值依次記（x1 ， y1），（x2 ， y2），…（xn ， yn）， 
（1）若程序運行中輸出的一個數組是（9，t），求t的值；
（2）程序結束時，共輸出（x，y）的組數位多少．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）
（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；
（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求 
+ 
的最小值．
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【題目】數列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ．
（1）證明：數列{ 
}是等差數列；
（2）設bn=3n 
，求數列{bn}的前n項和Sn ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，且PA=AD． 
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）設二面角D﹣AE﹣C為60°，且AP=1，求D到平面AEC的距離．
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【題目】一果農種植了1000棵果樹，為估計其產量，從中隨機選取20棵果樹的產量（單位：kg）作為樣本數據，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知樣本中產量在區間（45，50]上的果樹棵數為8， 
（1）求頻率分布直方圖中a，b的值；
（2）根據頻率分布直方圖，估計這20棵果樹產量的中位數；
（3）根據頻率分布直方圖，估計這1000棵果樹的總產量．
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