Question

已知函數f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x-1．
（1）設ω＞0為常數，若y=f(ωx)在區間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數，求ω的取值范圍；
（2）設集合A={x|

π

6

≤x≤

2π

3

}，B={x|[

1

2

f(x)]2-mf(x)+m2+m-1＞0}，若A?B恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的降冪公式將f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x-1化為f（x）=2sinx，從而f（ωx）=2sinωx，利用f（ωx）在[-

π

2

，

2π

3

]是增函數，可得到[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]
，從而可求ω的取值范圍；
（2）由于f（x）=2sinx，將[

1

2

f(x)]2-mf(x)+m2+m-1＞0化為sin²x-2msinx+m²+m-1＞0，令sinx=t，則t²-2mt+m²+m-1＞0，t∈[

1

2

，1]，記f（t）=t²-2mt+m²+m-1，
問題轉化為上式在t∈[

1

2

，1]上恒成立問題，根據區間[

1

2

，1]在對稱軸t=m的左側，右側，對稱軸穿過區間[

1

2

，1]三種情況結合二次函數的單調性即可解決．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）f(x)=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+cos2x-1=2sinx（1+sinx）-2sin²x=2sinx．
∵f(ωx)=2sinωx在[-

π

2

，

2π

3

]是增函數，
∴[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]⇒

2π

3

≤

π

2ω

，∴ω∈(0，

3

4

]

（2）[

1

2

f(x)]2-mf(x)+m2+m-1
=sin²x-2msinx+m²+m-1＞0
因為x∈[

π

6

，

2π

3

]，設sinx=t，則t∈[

1

2

，1]
上式化為t²-2mt+m²+m-1＞0
由題意，上式在t∈[

1

2

，1]上恒成立．
記f（t）=t²-2mt+m²+m-1，
這是一條開口向上拋物線，
則

m＜ 1 2 f( 1 2 )＞0

或

1 2 ≤m≤1 △＜0

或

m＞1 f(1)＞0

解得：m＜-

3

2

或m＞1．

點評：本題考查二倍角的余弦，二次函數的性質，難點在于轉化與構造函數，利用f（t）=t²-2mt+m²+m-1＞0恒成立，t∈[

1

2

，1]來解決，屬于難題．