已知函數g（x）="aln" x·f（x）=x3 +x2+bx
（1）若f（x）在區間[1，2]上不是單調函數，求實數b的范圍；
（2）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）當b=0時，設F（x）=
，對任意給定的正實數a，曲線y=F（x）上是否存在兩點P，Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在y軸上？請說明理由．
（1）
；（2）
;（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）先求函數的導數，因為在區間
不單調，所以導函數的值不恒大于或小于0，即函數的最大值大于0，函數的最小值小于0，即不單調；
（2）根據條件化簡
得，
，
，求出
， 的最小值即可確定
的范圍,首先對函數求導，確定單調性，求出最值；
（3）先假設曲線
上存在兩點
滿足題意，設出
，則
，從而由
是以O（O為坐標原點）為直角頂點的直角三角形可建立關系式
，分情況求解即可．
試題解析：（1）由
得
因
在區間[1，2]上不是單調函數
所以在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0
∴ 4分
（2）由
，得
．
，且等號不能同時取，
，即
恒成立，即
6分
令
，求導得，
，
當
時，
，從而
，
在
上為增函數，
，
． 8分
（3）由條件，
，
假設曲線
上存在兩點
，
滿足題意，則，只能在
軸兩側， 9分
不妨設
，則
，且
．
是以
為直角頂點的直角三角形，
， （*），
是否存在，等價于方程
在
且時是否有解．
①若
時，方程為
，化簡得
，此方程無解； 12分
②若
時，方程為
，即
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，其中a，b∈R
(1)求函數f(x)的最小值；
(2)當a＞0，且a為常數時，若函數h(x)＝x[g(x)＋1]對任意的x1＞x2≥4，總有
成立，試用a表示出b的取值范圍；
(3)當
時，若
對x∈[0，＋∞)恒成立，求a的最小值.
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，函數g(x)的導函數
，且
的極值；
，使得
成立，試求實數m的取值范圍：
，求證：
．
的一條切線的斜率是2，求切點坐標；
處的切線方程．
.
在
處取得極值，求
內有極大值和極小值，求實數
的取值范圍.
．
是函數
的極值點，求曲線
在點
處的切線方程；
上為單調增函數，求
的取值范圍．
是函數
的一個極值點.
與
的關系式（用
的單調區間；
，
在區間[0，4]上是增函數.若存在
使得
成立，求
在
上的最大值與最小值；
時，函數
的圖像恒在直線
上方，求實數
的取值范圍；
時，
，函數
在
處的切線方程為 ；