Question

【題目】已知函數(shù)為實數(shù)且.

（1）設函數(shù).當時，在其定義域內為單調增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設函數(shù).當時，在區(qū)間(其中為自然對數(shù)的底數(shù))上是否存在實數(shù)，使得成立，若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）在其定義域內為單調增函數(shù)，即為在上恒成立，分類參數(shù)，利用均值不等式求出右邊函數(shù)的最大值，即得的范圍；（2）在區(qū)間上存在實數(shù)，使得成立，即得最小值小于零，討論的單調性，求出其最小值列參數(shù)的不等式求出范圍.

試題解析：（1） ,定義域為.因為,要使為單調遞增函數(shù)，須恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以定義域為單調遞增函數(shù)時，的取值范圍是.

（2）時，，且，令，得到，若在區(qū)間上存在一點，使得成立，即在區(qū)間上的最小值小于.①當，即時，恒成立，即在區(qū)間上單調遞減，故

在區(qū)間上的最小值為，由，得即 .②當,即時, 若，則對成立，所以在區(qū)間上單調遞減，則在區(qū)間上的最小值為,顯然 在區(qū)間 上的最小值小于不成立.若,即時，則有

		極小值

所以在區(qū)間上的最小值為.由,得,解得,即.綜上①②可知,當時，在區(qū)間上存在實數(shù), 使得成立.