Question

設拋物線y=x²過一定點A （-a，a²）（），P（x，y）是拋物線上的動點．
（I）將表示為關于x的函數f（x），并求當x為何值時，f（x）有極小值；
（II）設（I）中使f（x）取極小值的正數x為x，求證：拋物線在點P（x，y）處的切線與直線AP垂直．

Answer 1

【答案】分析：（I）先寫出向量的坐標，再利用向量數量積運算性質求出函數f（x）的解析式，最后利用導數求函數的單調區間，得到函數的極值點即可
（II）先利用斜率公式，計算直線AP的斜率（用a表示），再利用導數的幾何意義計算拋物線在點P（x，y）處的切線斜率，最后將兩個斜率相乘結果為-1即得證
解答：解：（I）．
∴f'（x）=4x³+2（1-2a²）x+2a．令f'（x）=0得2x³+（1-2a²）x+a=0，即（x+a）（2x²-2ax+1）=0．
∵a＞，
∴此方程有三個根x₁=-a，x₂=，
①當x＜-a時，f'（x）＜0；
②當-a＜x＜時，f'（x）＞0；
③當時，f'（x）＜0；
④當x＞時，f'（x）＞0．
∴當x=-a或x=時，f（x）有極小值
（II）由（I）知，x=，
則直線AP的斜率k₁=，
又拋物線y=x²在點P（x，y）處的切線的斜率k₂=2x=a+，∴k₁k₂==-1，
∴拋物線在點P（x，y）處的切線與直線AP垂直．
點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數極值的關系，解題時需要有扎實的解含參數不等式的功底，還要有較強的計算能力