Question

設拋物線y=x²過一定點A （-a，a²）（a＞

2

），P（x，y）是拋物線上的動點．
（I）將

AP

2表示為關于x的函數f（x），并求當x為何值時，f（x）有極小值；
（II）設（I）中使f（x）取極小值的正數x為x₀，求證：拋物線在點P₀（x₀，y₀）處的切線與直線AP₀垂直．

Answer 1

分析：（I）先寫出向量

AP

的坐標，再利用向量數量積運算性質求出函數f（x）的解析式，最后利用導數求函數的單調區間，得到函數的極值點即可
（II）先利用斜率公式，計算直線AP₀的斜率（用a表示），再利用導數的幾何意義計算拋物線在點P₀（x₀，y₀）處的切線斜率，最后將兩個斜率相乘結果為-1即得證

解答：解：（I）

AP

=(x+a，y-a2)=(x+a，x2-a2)，則

f(x)= AP 2=(x+a)2+(x2-a2)2=x4+(1-2a2)x2+2ax+a4+a2

．
∴f'（x）=4x³+2（1-2a²）x+2a．令f'（x）=0得2x³+（1-2a²）x+a=0，即（x+a）（2x²-2ax+1）=0．
∵a＞

2

，
∴此方程有三個根x₁=-a，x₂=

a- a2-2

2

，x3=

a+ a2-2

2

，
①當x＜-a時，f'（x）＜0；
②當-a＜x＜

a- a2-2

2

時，f'（x）＞0；
③當

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

時，f'（x）＜0；
④當x＞

a+ a2-2

2

時，f'（x）＞0．
∴當x=-a或x=

a+ a2-2

2

時，f（x）有極小值
（II）由（I）知，x₀=

a+ a2-2

2

，
則直線AP₀的斜率k₁=

x 2 0 -a2

x0+a

=x0-a=

a+ a2-2

2

-a=

a2-2 -a

2

，
又拋物線y=x²在點P₀（x₀，y₀）處的切線的斜率k₂=2x₀=a+

a2-2

，∴k₁k₂=

a2-2 -a

2

×(a+

a2-2

)=

a2-2-a2

2

=-1，
∴拋物線在點P₀（x₀，y₀）處的切線與直線AP₀垂直．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數極值的關系，解題時需要有扎實的解含參數不等式的功底，還要有較強的計算能力