Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)，函數(shù)圖象上是否存在3條互相平行的切線，并說明理由？

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)詳見解析.

【解析】

(Ⅰ)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)二次導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值可得答案；（Ⅱ）對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（Ⅰ），，，

則函數(shù)在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，，，，，

所以存在切線斜率，

使得，，，，

所以函數(shù)圖象上是存在3條互相平行的切線.

（Ⅱ），

當(dāng)，有；，

在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)；

當(dāng)，有，；，

在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)；

當(dāng)，有，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

，

，，，

所以函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi).所以函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)三個(gè)零點(diǎn).