Question

設正數列的前項和為，且．
(1)求數列的首項；
(2)求數列的通項公式；
(3)設，是數列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數．

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) .

解析試題分析：(1) ,所以在中, ,令,可得關于的方程,解之可得.
(2) 在中, 用代替,得：
于是有方程組，兩式分別平方再相減可得，即：
由此探究數列的特點，從而求其通項公式；
（3）根據數列數列的通項公式特點，有
故可用拆項法化簡數列的前項和，并由的范圍求出的值.
試題解析：(1)當時，由且，解得           2分
(2)由，得 ①
∴      ②
②-①得：
化簡，得                     4分
又由，得
∴，即                   5分
∴數列是以1為首項，公差為2的等差數列               6分
∴，即                 8分
(3)           10分
∴

 
                                   12分
∴要使對所有都成立，只需，即
∴滿足條件的最小正整數．                     14分
考點：1、數列通項與的關系；2、拆項求和.