Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）如果當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：（）（說明：）

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）先求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，從而求出函數的單調區間；

（2）不等式化為，構造新函數，通過求導得到g（x）的單調性，求出其最小值，進而求出k的范圍；

（3）根據（2）成立可得，令得則，讓x取值，累加即可．

（1）因為，，則，

當時，，當時，.

所以在上單調遞增，在上單調遞減；

（2）不等式即為，

記，

所以，

令，則，

∵，∴∴在上單調遞增，

∴，

從而，故在上也單調遞增，

所以，所以；

（3）由（2）知：恒成立，

即，

令，則，

所以，，，……

，

疊加得：，

故（）成立.