Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）（ⅰ）求證：；

（ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過原點(diǎn)分別作曲線與的切線，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）詳見解析；（ⅱ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）（ⅰ）構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)分析單調(diào)性，利用最值即可證明；

（ⅱ）由，當(dāng)時(shí)，利用可得函數(shù)單調(diào)性從而知成立，當(dāng)時(shí)求導(dǎo)分析單調(diào)性找到反例知不成立，從而得解；

（Ⅱ）設(shè)切線的方程為，切點(diǎn)為，則，，可得的的方程為，設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，通過求導(dǎo)列方程可得，令，求導(dǎo)利用單調(diào)性即可證得.

（Ⅰ）（ⅰ）證明：令，

則，

所以時(shí)，，時(shí)，

所以，即.

（ⅱ），

.

a.當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，

所以，

所以在［上遞增，

則恒成立，符合題意．

b．當(dāng)時(shí)，令，則

，所以在上遞增，且，則存在，使得.

所以在上遞減，在上遞增；

又，所以不恒成立，不合題意．

綜合a，b可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

（Ⅱ）證明：設(shè)切線的方程為，切點(diǎn)為，則，，

所以，， 則.

由題意知，切線的斜率為，的的方程為.

設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，

則，

所以，.

又因?yàn)?/span>，

消去和a后 ，整理得.

令，

則，

易知在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增 ．

若，因?yàn)?/span>

，，所以 ，

而，在上單調(diào)遞減，

所以.

若，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，則，所以（舍去）.

綜上所述：.