Question

已知（m為常數，m>0且）
設是首項為4，公差為2的等差數列.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若，且數列{b_n}的前n項和，當時，求
（3）若，問是否存在，使得中每一項恒小于它后面的項？
若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）由題意   即
∴                                          …………2分
∴      ∵m>0且，∴m²為非零常數，
∴數列{a_n}是以m⁴為首項，m²為公比的等比數列                   …………4分
（Ⅱ）由題意，
當
∴   ①             …………6分
①式兩端同乘以2，得
  ②       …………7分
②－①并整理，得
 

=
   …10分
（Ⅲ）由題意
要使對一切成立，即 對一切 成立，
①當m>1時， 成立；                  …………12分
②當0<m<1時，
∴對一切 成立，只需，
解得 ， 考慮到0<m<1，    ∴0<m< 
綜上，當0<m<或m>1時，數列{c_n}中每一項恒小于它后面的項.

略