Question

已知圓.（14分）

(1)此方程表示圓，求m的取值范圍；

(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且(O為坐標原點)，求m的值；

(3)在(2)的條件下，求以為直徑的圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) (3)

【解析】

試題分析：（1）把方程化為圓的標準方程為，故有，由此解得的范圍．

（2）由直線方程與圓的方程聯立消,把直線代入圓的方程化簡到關于的二次方程,設．∵，故 ①，利用根與系數的關系可得,，代入①求得的值.

（3）由(2)可以求出兩點的坐標,由兩點間距離公式可以求出線段的長度,再由中點公式可以求出圓心．可以得到以直徑的圓的方程．當然也可以圓的直徑式直接寫出圓的方程.

試題解析：

(1)方程，可化為

，

∵此方程表示圓，

∴，即.

(2)

消去得，

化簡得.

設，則

由得

即，

∴.

將兩式代入上式得

，

解之得.

(3)由，代入，

化簡整理得，解得.

∴.

∴，

∴的中點C的坐標為.

又，

∴所求圓的半徑為.

∴所求圓的方程為.

考點：圓的一般方程; 二元二次方程表示圓的條件；圓的標準方程；直線與圓的位置關系.