Question

【題目】若數列{an}中的項都滿足a2n﹣1=a2n＜a2n+1（n∈N*），則稱{an}為“階梯數列”．
（1）設數列{bn}是“階梯數列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），求b2016；
（2）設數列{cn}是“階梯數列”，其前n項和為Sn ， 求證：{Sn}中存在連續(xù)三項成等差數列，但不存在連續(xù)四項成等差數列；
（3）設數列{dn}是“階梯數列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），記數列{ }的前n項和為Tn ， 問是否存在實數t，使得（t﹣Tn）（t+ ）＜0對任意的n∈N*恒成立？若存在，請求出實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設數列{bn}是“階梯數列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），

∴數列{b2n﹣1}是等比數列，首項為1，公比為9．

∴b2016=b2015=b2×1008﹣1=1×91008﹣1=91007=32014

（2）證明：∵數列{cn}是“階梯數列”，∴c2n﹣1=c2n．

∴S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，因此{Sn}中存在連續(xù)三項成等差數列．

假設{Sn}中存在連續(xù)四項成等差數．∴Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2，

∴an+1=an+2=an+3，

n=2k﹣1時，a2k=a2k+1=a2k+2，與數列{cn}是“階梯數列”矛盾；

同理n=2k時，也得出矛盾

（3）解：設數列{dn}是“階梯數列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），

∴數列{d2n﹣1}是等差數列，公差為2，首項為1．

∴d2n﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1=d2n．

= = = ．

n=2k（k∈N*）時，Tn=T2k= + +…+

=2

=2× ×

=1﹣ =1﹣ = ．

∴Tn∈ ， ∈ ．

∴（t﹣Tn）（t+ ）＜0，

∴ ＜t＜Tn，解得﹣1≤t ．①

n=2k﹣1（k∈N*）時，Tn=T2k﹣ =T2k﹣

=1﹣ ﹣ （12k﹣1﹣12k+1）=1﹣ ∈ ，

∴ ∈[﹣3，﹣1）．

∴（t﹣Tn）（t+ ）＜0，

∴ ＜t＜Tn，∴﹣1≤t ．②．

由①②可得：實數t的取值范圍是﹣1≤t

【解析】（1）設數列{bn}是“階梯數列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），b2016=b2015 ， 再利用等比數列的通項公式即可得出．（2）由數列{cn}是“階梯數列”，可得c2n﹣1=c2n ． 即可得出S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1 ， 即可證明{Sn}中存在連續(xù)三項成等差數列．假設{Sn}中存在連續(xù)四項成等差數．Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2 ， 可得an+1=an+2=an+3 ， 得出矛盾．（3）設數列{dn}是“階梯數列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），利用等差數列的通項公式可得：d2n﹣1=2n﹣1=d2n ． = = ．n=2k（k∈N*）時，Tn=T2k= + +…+ =2 ，利用“裂項求和”及其數列的單調性可得Tn∈ ，由（t﹣Tn）（t+ ）＜0，可得 ＜t＜Tn ． n=2k﹣1（k∈N*）時，Tn=T2k﹣ =T2k﹣ ，同理可得．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的通項公式（及其變式）和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握通項公式：或；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．