Question

如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長.與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于點，直線分別與相交于點.

（Ⅰ）求、的方程；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）記的面積分別為，若，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）曲線方程與性質的互求遵循：定型、定位、定量，這里關鍵是定量；（Ⅱ）解析幾何中垂直關系的證明，主要是用向量的數量積為零來處理，而從斜率處理就涉及到斜率的存在與否不是很好，而數量積的計算常用的坐標形式，這樣就和解析幾何的思想解析法掛上了鉤；（Ⅲ）首先要設變量，用變量來表示，進而表示，這一轉化過程必須用解析法完成，注意運算能力的培養，接下來運用函數或不等式的知識來求范圍即可.
試題解析：（Ⅰ）  又，解得，.
（Ⅱ）依題意有，設直線，
則，有

.
（Ⅲ）設直線；
，解得或，同理可得
.
解得或，，同理可得

，即.
考點：1.圓錐曲線的方程和性質；2.直線與曲線的綜合.