Question

已知函數，是大于零的常數．
（Ⅰ）當時,求的極值；
（Ⅱ）若函數在區間上為單調遞增，求實數的取值范圍；
(Ⅲ)證明：曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立.

Answer 1

（I）極大值，極小值.
（Ⅱ）當函數在區間上為單調遞增時，或．
（Ⅲ）曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立 ．

試題分析：（I）求極值一般遵循“求導數、求駐點、討論區間的導數值正負、計算極值”.
（Ⅱ）函數在區間上為單調遞增，因此，其導函數為正數恒成立，據此建立的不等式求解.
應注意結合的不同取值情況加以討論.
（Ⅲ）通過確定函數的極大值、極小值點,, 并確定的中點.
設是圖象任意一點,由，可得，
根據，可知點在曲線上，作出結論.
本題難度較大，關鍵是能否認識到極大值、極小值點,的中點即為所求.
試題解析：（I），，
當時，，
令得.
在分別單調遞增、單調遞減、單調遞增，
于是，當時，函數有極大值，時，有極小值.
------4分
（Ⅱ），若函數在區間上為單調遞增，
則在上恒成立，
當，即時，由得；
當，即時，，無解；
當，即時，由得．
綜上，當函數在區間上為單調遞增時，或．    10分
（Ⅲ），，
令，得，
在區間，，上分別單調遞增，單調遞減，單調遞增，
于是當時，有極大值；
當時，有極小值．
記,, 的中點,
設是圖象任意一點,由，得，
因為
，
由此可知點在曲線上，即滿足的點在曲線上．
所以曲線上存在一點，使得曲線上總有兩點，且成立 ．          14分