Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB= ．D，E分別為線段AB，BC上的點，且CD=DE= ，CE=2EB=2．

（Ⅰ）證明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵PC⊥平面ABC，DE平面ABC，∴PC⊥DE，
∵CE=2，CD=DE= ，∴△CDE為等腰直角三角形，
∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，
DE垂直于平面PCD內的兩條相交直線，
∴DE⊥平面PCD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE為等腰直角三角形，∠DCE= ，
過點D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，
由∠ACB= 得DF∥AC， ，故AC= DF= ，
以C為原點，分別以 ， ， 的方向為xyz軸的正方向建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），P（0，0，3），A（ ，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
∴ =（1，﹣1，0）， =（﹣1，﹣1，3）， =（ ，﹣1，0），
設平面PAD的法向量 =（x，y，z），由 ，
故可取 =（2，1，1），
由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量 可取 =（1，﹣1，0），
∴兩法向量夾角的余弦值cos＜ ， ＞= =
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由已知條件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由線面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C為原點，分別以 ， ， 的方向為xyz軸的正方向建立空間直角坐標系，易得 ， ， 的坐標，可求平面PAD的法向量 ，平面PCD的法向量 可取 ，由向量的夾角公式可得．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．