Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，直線l過點P（1，2）．

（1）若直線l在x軸和y軸上的截距相等，求直線l的方程；

（2）求坐標原點O到直線l距離取最大值時的直線l的方程；

（3）設直線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A，B兩點，當|PA||PB|最小時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）y=2x，x+y=3（2）x+2y-5=0（3）x+y-3=0

【解析】

（1）直線l經過原點時滿足條件，可得方程為：y＝2x．直線l不經過原點時，設方程為：x+y＝a，把點P的坐標代入即可得出a．

（2）坐標原點O到直線l距離取最大值時，直線l⊥OP．可得：kOP＝2，kl．利用點斜式即可得出．

（3）設直線l的方程為：y﹣2＝k（x﹣1），k＜0．可得A（1，0），B（0，2﹣k）．利用兩點之間的距離公式可得|PA||PB|，再利用基本不等式的性質即可得出．

（1）直線l經過原點時滿足條件，可得方程為：y＝2x．

直線l不經過原點時，設方程為：x+y＝a，可得：a＝1+2＝3．

可得方程為：x+y＝3．

綜上可得：直線l的方程為：y＝2x，x+y＝3．

（2）坐標原點O到直線l距離取最大值時，直線l⊥OP．

可得：kOP＝2，∴kl．

∴坐標原點O到直線l距離取最大值時的直線l的方程為：y﹣2（x﹣1），化為：x+2y﹣5＝0．

（3）設直線l的方程為：y﹣2＝k（x﹣1），k＜0．

可得A（1，0），B（0，2﹣k）．

|PA||PB|4，

當且僅當k＝﹣1時取等號．

此時直線l的方程為：y﹣2＝﹣（x﹣1），化為：x+y﹣3＝0．