Question

對于函數f（x）=（x²-2x）e^x有以下4個命題：
①f（x）有最大值，但無最小值；
②f（x）有最小值，但無最大值；
③f（x））既有極大值，也有極小值；
④f（x）既無最大值，也無最小值．
則真命題的序號是

③

．（把所有真命題的序號都填上）

Answer 1

分析：由f（x）=（x²-2x）e^x的定義域是R，f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，令f′（x）=0，得x=-

2

，x=

2

，列表討論，得f（x）既有極大值，也有極小值；f（x）既無最大值，也無最小值．

解答：解：∵f（x）=（x²-2x）e^x的定義域是R，
f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，
∴令f′（x）=0，得x=-

2

，x=

2

，
列表：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f′（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以f（x）既有極大值，也有極小值．
故答案為：③．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用．