Question

已知函數
若函數在和上是增函數，在是減函數，求的值；
討論函數的單調遞減區間；
如果存在，使函數，，在處取得最小值，試求的最大值.

Answer 1

;當時，單調減區間為當時，單調減區間為;
.

試題分析：通過求導以及極值點的導數計算的值為1；通過導數與函數的單調性關系討論函數的單調減區間；先寫出函數表達式，是一個三次多項式.由，在處取得最小值知在區間上恒成立，從而得 再討論與時利用二次函數在閉區間的最值問題解得.
試題解析：（Ⅰ）                                     1分
函數在和上是增函數，在上是減函數，
∴為的兩個極值點，∴即          3分
解得：                                                       4分
（Ⅱ），的定義域為，
             5分
當時，由解得，的單調減區間為        7分
當時，由解得，的單調減區間為  9分
（Ⅲ），據題意知在區間上恒成立，即①                         10分
當時，不等式①成立；
當時，不等式①可化為②          11分
令，由于二次函數的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區間上的最小值必在端點處取得，又，所以不等式②恒成立的充要條件是，即                        12分
即，因為這個關于的不等式在區間上有解，所以
                 13分
又，故，                  14分