Question

（本小題12分）已知（）.
（1）判斷函數的奇偶性，并證明；
（2）若，用單調性定義證明函數在區間上單調遞減；
（3）是否存在實數，使得的定義域為時，值域為
，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，則說明理由.

Answer 1

（1）奇函數.（2）函數在區間上單調遞減.
（3）滿足題目條件的實數存在，實數的取值范圍是.

試題分析：（1）根據對數函數的真數大于0建立不等式，解之即可求出函數的定義域，判定是否對稱，然后根據函數奇偶性的定義進行判定即可；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后比較真數的大小，從而得到f（x₁）與f（x₂）的大小，最后根據單調性的定義進行判定即可；
（3）假設存在實數a滿足題目條件，然后根據函數在區間[m，n]上單調性建立等式關系，然后轉化成方程x²+（1-a）x+a=0在區間（1，+∞）上有兩個不同的實根，從而可求出a的取值范圍．
解：（1）由得：或 .
所以，函數的定義域為.
又
為奇函數.
（2）任取，且，則.
因為
所以，又因為，所以，
故,所以，函數在區間上單調遞減.
（3）假設存在實數滿足題目條件.
由題意得：，又，
又，，.
故，由（2）得：函數在區間上單減.所以，函數在區間上單調遞減.
故，，所以，
所以，
是方程的兩個不同的實根.
故，方程在區間上有兩個不同的實根.
則，解得：.又，
所以，所以，滿足題目條件的實數存在，實數的取值范圍是.
點評：解決該試題的關鍵是對于方程在某個區間上方有幾個不同的實數根的問題，常常轉化為分析參數來求解其范圍。