Question

已知函數y=f（x）滿足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），當x∈[-1，4]時，f（x）=x²-2^x，則f（x）在區間[0，2012]上零點的個數為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：根據y=f（x）滿足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），求出周期為5；再求出f（x）在一個周期[-1，4]內的零點數，即可得出f（x）在區間[0，2012]上零點數．

解答： 解：∵函數y=f（x）滿足f（x+

5

4

）=-f（x-

5

4

），
∴f（x+

5

4

+

5

4

）=-f[（x+

5

4

）-

5

4

]=-f（x），
即f（x+

5

2

）=-f（x）；
∴f[（x+

5

2

）+

5

2

]=-f（x+

5

2

）=-[-f（x）]=f（x），
即f（x+5）=f（x）；
∴f（x）的周期為5；
又∵x∈[-1，4]時，f（x）=x²-2^x，
∴f′（x）=2x-ln2•2^x，
∵f′（-1）＜0，f′（0）＜0，f′（1）＞0，f’（4）＜0，
∴f（x）在區間[-1，4]內先減后增，再減；
又∵f（-1）＞0，f（0）＜0，
∴f（x）在[-1，0]內有一個零點；
又∵f（2）=0，f（4）=0，
∴2，4也是函數的零點；
∴f（x）在[-1，4]內有且只有三個零點；
又∵2012÷5=402…2，
∴f（x）在區間[0，2012]上零點的個數為402×3+1=1207．
故答案為：1207．

點評：本題考查了函數的圖象與性質的綜合運用問題，解題時應先求出函數的周期，再求出一個周期內的零點數，從而求出結果，是較難的題目．