Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據動點M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（a為長半軸，c為半焦距）上，可得

a2

c

=2，利用橢圓短半軸長為1，即可確定橢圓方程；
（2）設出以OM為直徑的圓的方程，利用以OM為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2，結合圓心到直線3x-4y-5=0的距離，即可求得所求圓的方程．

解答：解：（1）∵動點M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（a為長半軸，c為半焦距）上
∴

a2

c

=2
∵橢圓短半軸長為1，∴

1+c2

c

=2，∴c=1
∴a=

2

所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（2）設以OM為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1，
其圓心為(1，

t

2

)，半徑r=

t2 4 +1

因為以OM為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=

r2-1

=

t

2

所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5

點評：本題考查橢圓的方程，考查圓的方程，考查點到直線距離的運用，解題的關鍵是利用圓的性質求解圓的弦長問題．