Question

已知橢圓的中心為坐標原點，斜率為1且過橢圓右焦點F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點，

OA

+

OB

與

a

=(3，-1)共線，則該橢圓的長半軸長為

6

．

Answer 1

分析：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，與直線AB的方程消去y得到關于x的一元二次方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理算出x₁+x₂=

4a2

a2+b2

．由

OA

+

OB

與

a

=(3，-1)共線，得3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，結合直線AB方程解出x₁+x₂=3，代入前面的式子得到關于a、b的方程組，解之可得a、b之值，即可得到該橢圓的長半軸長．

解答：解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵直線AB的斜率為1且過橢圓右焦點F（2，0），
∴直線AB的方程為y=x-2，
代入橢圓方程消去y，化簡得（a²+b²）x²-4a²x+4a²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4a2

a2+b2

，x₁•x₂=

4a2-a 2b2

a2+b2

．
∵

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

OA

+

OB

與

a

=(3，-1)共線，
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，
結合y₁=x₁-2且y₂=x₂-2，化簡得3（x₁+x₂-4）+（x₁+x₂）=0，解之得x₁+x₂=3．
即

4a2

a2+b2

=3，解之得a²=3b²．
又∵a²-b²=c²=4，∴a²-

1

3

a²=4，解之得a=

6

，即該橢圓的長半軸長為

6

．
故答案為：

6

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的長半軸的值．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、向量共線的條件和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．