Question

已知函數.（為常數,）
（Ⅰ）若是函數的一個極值點，求的值；
（Ⅱ）求證：當時，在上是增函數；
（Ⅲ）若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

解：.
（Ⅰ）由已知，得 且，，，.
（Ⅱ）當時，,,
當時，.又，
，故在上是增函數.  
（Ⅲ）時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為，
于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立.
記，（）
則，
當時，，
在區間上遞減，此時，，
由于，時不可能使恒成立，故必有,
.
若，可知在區間上遞減，在此區間上，有，與恒成立矛盾，故，這時，，在上遞增，恒有，滿足題設要求，，即，
所以，實數的取值范圍為.

略