Question

正四面體ABCD的外接球球心為O，E為BC的中點，則二面A-BO-E的大小為（　�。�

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、

  2π

  3

• D、

  5π

  6

Answer 1

分析：E為BC的中點，二面角A-BO-E即為二面角A-BO-C，過A作AF垂直OB于F，連接CF，則∠AFC為二面A-BO-C的平面角，在△AFC中利用余弦定理去求．

解答：解：如圖．H為底面正△ABC的中心．設棱長為1，則AH=

3

3

，DH=

1- 1 3

=

6

3

，E為BC的中點，二面角A-BO-E即為二面角A-BO-C
設外接球半徑為R，則在△AOH中，
R2=(

6

3

-R)2+(

3

3

)2解得R=OA=OB=OC=

6

4

，過A作AF垂直OB于F，連接CF，∵△AOB≌△COB，∴CF⊥OB，∴∠AFC為二面A-BO-C的平面角

∵S△AOB=

1

2

×AB×

R2- 1 4

=

1

2

×R×AF，∴AF=

R2- 1 4

R

=CF.

2 ( R2- 1 4 R2 )

在AFC中，cos∠AFC=

2AF2-AC2

2AF2

=

2 ( R2- 1 4 R2 )-1

2( R2-  1 4 R2 )

=

R2- 1 2

2R2- 1 2

=-

1

2

∴∠AFC=

2π

3

故選C．

點評：本題考查正四面體的性質、二面角的意義所成的角．解決的關鍵是將空間角化為平面角，在三角形當中去解決．