Question

正四面體ABCD的外接球的表面積為4π，則A與B兩點的球面距離為（　�。�

• A．arccos(-

  1

  4

  )
• B．arccos(

  1

  3

  )
• C．arccos(-

  3

  3

  )
• D．arccos(-

  6

  3

  )

Answer 1

分析：根據正四面體ABCD的外接球的表面積為4π，求得正四面體ABCD的外接球的半徑為1，從而可求正四面體ABCD的棱長，進而求得球心角，即可求得A與B兩點的球面距離．

解答：解：設正四面體ABCD的外接球的球心為O，則O在面ABC上的射影為△ABC的中心，
設△ABC的邊長為a，則正四面體ABCD的高為

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a
∵正四面體ABCD的外接球的表面積為4π，
∴正四面體ABCD的外接球的半徑為1
∵正四面體的高等于外接球的半徑加上球心到面的距離
∴1+

1 -( 3 3 a)2

=

6

3

a
∴a=

2 6

3

∴cos∠AOB=

1+1-( 2 6 3 )2

2×1×1

=-

1

3

∴A與B兩點的球面距離為arccos(

1

3

)
故選B．

點評：本題考查球面距離，考查球的內角幾何體，解題的關鍵是確定球心角．