Question

20.給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L=1275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：

首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的，r₁稱為第一組余差；

然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為r₂;如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為r₃）、第四組（余差為r₄）、…,直至第N組（余差為r_N）把這些數(shù)全部分完為止.

（Ⅰ）判斷r₁,r₂,…,r_N的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）當(dāng)構(gòu)成第n（n＜N）組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與r_n的大小關(guān)系，并證明r_n－1＞;

（Ⅲ）對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：N≤11.

Answer 1

20.本小題主要考查不等式的證明等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.

解：（Ⅰ）r₁≤r₂≤…≤r_N.除第N組外的每組至少含有=3個(gè)數(shù).

 （Ⅱ）當(dāng)?shù)?I>n組形成后，因?yàn)?I>n＜N,所以還有數(shù)沒分完，這時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于余差r_n.余下數(shù)之和也大于第n組的余差r_n,即

L－［（150－r₁）+（150－r₂）+…+（150－r_n）］＞r_n,

由此可得r₁+r₂+…+r_n－1＞150n－L.

因?yàn)椋?I>n－1）r_n－1≥r₁+r₂+…+r_n－1,所以r_n－1＞.

  （Ⅲ）用反證法證明結(jié)論.假設(shè)N＞11,即第11組形成后，還有數(shù)沒分完，由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，余下的每個(gè)數(shù)都大于第11組的余差r₁₁,且r₁₁≥r₁₀,

故　余下的每個(gè)數(shù)＞r₁₁≥r₁₀＞=37.5.           （*）

因?yàn)榈?1組數(shù)中至少含有3個(gè)數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于37.5×3=112.5.

此時(shí)第11組的余差r₁₁=150－第11組數(shù)之和＜150－112.5=37.5,

這與（*）式中r₁₁＞37.5矛盾，所以N≤11.