Question

給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L=1275．現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的，r₁稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為r₂；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為r₃）、第四組（余差為r₄）、…，直至第N組（余差為r_N）把這些數(shù)全部分完為止．
（Ⅰ）判斷r₁，r₂，…，r_N的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)構(gòu)成第n（n＜N）組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與r_n的大小關(guān)系，并證明r_n-1＞

150n-L

n-1

；
（Ⅲ）對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：N≤11．

Answer 1

分析：（I）由r₁≤r₂≤≤r_N，知除第N組外的每組至少含有

150

50

=3個(gè)數(shù)．
（II）當(dāng)?shù)趎組形成后，因?yàn)閚＜N，所以L-[（150-r₁）+（150-r₂）++（150-r_n）]＞r_n，由此可得r₁+r₂+…+r_n-1＞150n-L
，從而能夠證明rn-1＞

150n-L

n-1

．
（III）假設(shè)N＞11，即第11組形成后，還有數(shù)沒分完，余下的每個(gè)數(shù)＞r11≥r10＞

150×11-1275

10

=37.5，因?yàn)榈?1組數(shù)中至少含有3個(gè)數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于37.5×3=112.5，r₁₁＜37.5，與r₁₁＞37.5矛盾，所以N≤11．

解答：解：（I）r₁≤r₂≤≤r_N．除第N組外的每組至少含有

150

50

=3個(gè)數(shù)
（II）當(dāng)?shù)趎組形成后，因?yàn)閚＜N，所以還有數(shù)沒分完，這時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于余差r_n，余下數(shù)之和也大于第n組的余差r_n，即L-[（150-r₁）+（150-r₂）++（150-r_n）]＞r_n
由此可得r₁+r₂++r_n-1＞150n-L
因?yàn)椋╪-1）r_n-1≥r₁+r₂++r_n-1，所以rn-1＞

150n-L

n-1

（III）用反證法證明結(jié)論，假設(shè)N＞11，即第11組形成后，還有數(shù)沒分完，由（I）和（II）可知，余下的每個(gè)數(shù)都大于第11組的余差r₁₁，且r₁₁≥r₁₀
故余下的每個(gè)數(shù)＞r11≥r10＞

150×11-1275

10

=37.5（*）
因?yàn)榈?1組數(shù)中至少含有3個(gè)數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于37.5×3=112.5
此時(shí)第11組的余差r₁₁=150-第11組數(shù)之和＜150-112.5=37.5
這與（*）式中r₁₁＞37.5矛盾，所以N≤11．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查不等式的證明等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．