Question

設(shè)點A，B是橢圓C：x²+4y²=8上的兩點，且|AB|=2，點F為橢圓C的右焦點，O為坐標原點．
（Ⅰ）若

OF

•

AB

=0，且點A在第一象限，求點A的坐標；
（Ⅱ）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

OF

•

AB

=0，知

OF

⊥

AB

，可判斷點A、B關(guān)于x軸對稱，由|AB|=2可得點A縱坐標，代入橢圓方程可得其橫坐標；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為：y=mx+n，由

y=mx+n x2+4y2=8

，得（1+4m²）x²+8mnx+4n²-8=0，利用韋達定理即弦長公式可得m，n的方程①，由點到直線的距離公式可得點P到直線AB的距離d，代入①消掉n可得d關(guān)于m的表達式，由此可得其最小值，則△AOB面積S=d，可得其最小值；

解答：解：（Ⅰ）由

OF

•

AB

=0，知

OF

⊥

AB

，
又|AB|=2，點A在第一象限，
所以點A、B關(guān)于x軸對稱，可設(shè)A（x，1）（x＞0），
代入橢圓方程得，x²+4=8，解得x=2，
所以點A的坐標為（2，1）；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為：y=mx+n，
由

y=mx+n x2+4y2=8

，得（1+4m²）x²+8mnx+4n²-8=0，
△=64m²n²-4（1+4m²）（4n²-8）＞0，即8m²-n²+2＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

8mn

1+4m2

，x1x2=

4n2-8

1+4m2

，
由|AB|=2，則

1+m2

|x1-x2|=2，即（1+m²）[(x1+x2)2-4x1x2]=4，
則（1+m²）[

64m2n2

(1+4m2)2

-4•

4n2-8

1+4m2

]=4，化簡得，
16m⁴+32m²-4n²-4m²n²+7=0①，
點P到直線AB的距離d=

|n|

1+m2

，則n²=d²（1+m²），
代入①，并整理可得4d²=

16m4+32m2+7

(1+m2)2

=16-

9

(1+m2)2

≥16-9=7，當(dāng)m=0時取等號，
所以d≥

7

2

，
所以△AOB面積S=

1

2

|AB|•d=d≥

7

2

，即所求面積的最小值為

7

2

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積、三角形的面積公式，考查學(xué)生的運算求解能力、解決問題的能力．