Question

如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為

3

2

，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為

6 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求

EP

•

QP

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用離心率為

3

2

得到關于a，b，c之間的關系，再結合點O到直線AB的距離為

6 5

5

，即可求出a，b，c，進而得到橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）先利用EP⊥EQ把所求問題轉化為

EP

2，再利用點P在拋物線上，利用拋物線上的點的范圍限制即可求出

EP

•

QP

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由離心率 e=

c

a

=

3

2

，得

b

a

=

1-e2

=

1

2

∴a=2b①
∵原點O到直線AB的距離為

6 5

5

∴

ab

a2+b2

=

6 5

5

②，
將①代入②，得b²=9，∴a²=36
則橢圓C的標準方程為

x2

36

+

y2

9

=1
（Ⅱ）因為EP⊥EQ∴

EP

•

EQ

=0
∴

EP

•

QP

=

EP

•(

EP

-

EQ

)=

EP

2
設P（x，y），則

x2

36

+

y2

9

=1，即 y2=9-

x2

4

∴

EP

•

QP

=

EP

2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+9-

x2

4

=

3

4

(x-4)2+6
∵-6≤x≤6，∴6≤

3

4

(x-4)2+6≤81
則

EP

•

QP

的最小值為：6．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關鍵是利用條件列出關于a，b，c之間的方程．第二問重點是數量積的應用，二次函數的最值的應用，考查計算能力，轉化思想．