Question

已知三條直線l₁：2x-y+a =" 0" (a＞0)，直線l₂：-4x+2y+1 = 0和直線l₃：x+y-1= 0，且l₁與l₂的距離是．
（1）求a的值；
（2）能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條 件：
①P是第一象限的點；
②P 點到l₁的距離是P點到l₂的距離的 ；
③P點到l₁的距離與P點到l₃的距離之比是∶．若能，求P點坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

（1）a = 3;（2）P(，)

解析試題分析：（1）將兩直線方程化為同系數方程,利用兩直線間距離公式計算得a = 3;（2）設點P(x₀，y₀)，若P點滿足條件②，則P點在與l₁、l₂平行的直線：2x-y+c =" 0" 上,由平行線間的距離公式得=×，所以c =或c =,即2x₀-y₀+= 0或2x₀-y₀+= 0,若P點滿足條件③由點到直線的距離公式有x₀-2y₀+4= 0或3x₀+2 = 0,又結合條件①解得,即點P(，)為能同時滿足三個條件的點.
試題解析：（1）l₂方程變形為2x-y-= 0，
∴l₁與l₂的距離d ===，
∴|| =，由a＞0解得a = 3．
（2）設點P(x₀，y₀)，若P點滿足條件②，則P點在與l₁、l₂平行的直線：2x-y+c =" 0" 上．
且=×，解得c =或c =，∴2x₀-y₀+= 0或2x₀-y₀+= 0；
若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，有
=·，即|| = ||，
∴x₀-2y₀+4= 0或3x₀+2 = 0；
由P在第一象限，顯然3x₀+2 = 0不可能，
聯立方程2x₀-y₀+= 0和x₀-2y₀+4= 0，解得(舍去)，
聯立方程2x₀-y₀+= 0和x₀-2y₀+4= 0，解得，
∴點P(，)即為能同時滿足三個條件的點．
考點：直線的方程與位置關系及距離公式的應用