Question

如圖，A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，AF₁=3AF₂．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設

AF1

=λ1

F1B

 ，   

AF2

=λ2

F2C

，證明：當A點在橢圓上運動時，λ₁+λ₂是定值．

Answer 1

分析：（1）設|AF₂|=m，則|AF₁|=3m．由題設及橢圓定義得

(3m)2-m2=(2c)2 3m+m=2a

．消去m，再利用橢圓離心率計算公式即可得出．
（2）由（1）知：b2=c2=

1

2

a2，可得橢圓方程可化為x²+2y²=2c²．
設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x02+2y02=2c2．
①若A為橢圓的長軸端點，則λ1=

a+c

a-c

，  λ2=

a-c

a+c

，或λ1=

a-c

a+c

，  λ2=

a+c

a-c

，即可得出；
②若A為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則由

AF1

=λ1

F1B

，  

AF2

=λ2

F2C

得λ1=-

y0

y1

 ，   λ2=-

y0

y2

，分別把直線AF₁，AF₂的方程與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，即可用x₀，y₀表示λ₁，λ₂即可．

解答：解：（1）設|AF₂|=m，則|AF₁|=3m．
由題設及橢圓定義得

(3m)2-m2=(2c)2 3m+m=2a

．
消去m得a²=2c²，所以離心率e=

2

2

．
（2）由（1）知：b2=c2=

1

2

a2，所以橢圓方程可化為x²+2y²=2c²．
設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x02+2y02=2c2．
①若A為橢圓的長軸端點，則λ1=

a+c

a-c

，  λ2=

a-c

a+c

，或λ1=

a-c

a+c

，  λ2=

a+c

a-c

，
所以λ1+λ2=

2(a2+c2)

a2-c2

=6．
②若A為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則由

AF1

=λ1

F1B

，  

AF2

=λ2

F2C

得λ1=-

y0

y1

 ，   λ2=-

y0

y2

，
所以λ1+λ2=-y0(

1

y1

+

1

y2

)．
又直線AF₁的方程為x+c=

x0+c

y0

y，
由

x+c= x0+c y0 y x2+2y2=2c2

得[2y02+(x0+c)2]y2-2cy0(x0+c)y-c2y02=0．
∵x02+2y02=2c2，
∴(3c+2x0)y2-2y0(x0+c)y-cy02=0，
由韋達定理得y0y1=-

cy02

3c+2x0

，∴y1=-

cy0

3c+2x0

，
由對稱性得y2=

cy0

-3c+2x0

．
所以λ1+λ2=-y0(

1

y1

+

1

y2

)=-y0(-

3c+2x0

cy0

+

-3c+2x0

cy0

)=6．
綜上可得，當A點在橢圓上運動時，λ₁+λ₂為定值6．

點評：熟練掌握橢圓的定義標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的運算及其相等、分類討論思想方法等是解題的關鍵．