Question

如圖，A為橢圓

x2

a2

+

y2

b1

=1（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

．
①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求λ₁+λ₂的值；
②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是λ₁+λ₂否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設|AF₁|=m，則|AF₂|=3m根據題設及橢圓定義得方程組聯立消去m求得a²=2c²，離心率可得．
（2）設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），分別表示出

AF1

和

F 1

B，根據

AF1

=λ₁

F1B

求得x₁和y₁的表達式代入x₁²+2y₁²=2c²中再與x₀²+2y₀²=2c²相減求得2x₀=cλ₁-3c同理根據

AF2

=λ₂

F2C

求得2x₀=-cλ₂+3c兩式相見即可求得λ₁+λ₂=6．說明λ₁+λ₂為定值．

解答：解：（Ⅰ）設|AF₁|=m，則|AF₂|=3m．
由題設及橢圓定義得

(3m)2-m2=4c2 3m+m=2a

，
消去m得a²=2c²，所以離心率

2

2

．
（Ⅱ）設A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則

AF1

=（-C-x₀，-y₀），

F 1

B=（x₁+C，y₁）
∵

AF1

=λ₁

F1B

，∴x₁=-

c+x0

λ1

-c，y₁=-

y0

λ1

又x₀²+2y₀²=2c²①，x₁²+2y₁²=2c²②，
將x₁，y₁代入②得：
（

c+x0

λ1

+c）²+2（

y0

λ1

）²=2c²即（c+x₀+cλ₁）²=2y²₀=2λ₁c²③；
③-①得：2x₀=cλ₁-3c；
同理：由

AF2

=λ₂

F2C

．得2x₀=-cλ₂+3c；
∴cλ₁-3c=-cλ₂+3c，
∴λ₁+λ₂=6．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及了橢圓的基本性質和利用向量的運算解決橢圓與直線的關系的問題，要求學生具有對知識的綜合、整合的能力．