Question

（2012•豐臺區一模）如圖所示，Rt△ABC內接于圓，∠ABC=60°，PA是圓的切線，A為切點，PB交AC于E，交圓于D．若PA=AE，PD=

3

，BD=3

3

，則AP=

2

3

，AC=

3

3

．

Answer 1

分析：由PDB為圓O的割線，PA為圓的切線，由切割線定理，結合PD=

3

，BD=3

3

易得AP長；由∠ABC=60°結合弦切角定理易得△PAE為等邊三角形，進而根據PE長求出AE長及ED，DB長，再根據相交弦定理可求出CE，進而得到答案．

解答：解：∵PD=

3

，BD=3

3

，
∴PB=PD+BD=4

3

，
由切割線定理得PA²=PD•PB=12
∴AP=2

3

，
又∵PE=PA
∴PE=2

3

又∠PAC=∠ABC=60°
∴AE=2

3

又由DE=PE-PD=

3

BE=BD-DE=2

3

，
由相交弦定理可得：
AE•CE=BE•ED=2

3

CE=6
即CE=

3

∴AC=AE+CE=3

3

．
故答案：2

3

；3

3

．

點評：本題考查的知識點是與圓相關的比例線段，根據已知條件求出與圓相關線段的長，構造方程組，求出未知線段是解答的關鍵．