Question

各項均為正數的數列{a_n}前n項和為S_n，且4S_n=

a

2 n

+2a_n+1，n∈N₊．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知公比為q（q∈N₊）的等比數列{b_n}滿足b₁=a₁，且存在m∈N₊滿足b_m=a_m，b_m+1=a_m+3，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，結合數列{a_n}各項均為正數，可得數列{a_n}為首項為1，公差為2的等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用b_m=a_m，b_m+1=a_m+3，求出公比，即可求得數列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵4S_n=

a

2 n

+2a_n+1，∴4S_n+1=

a

2 n+1

+2a_n+1+1，
兩式相減得：4a_n+1=

a

2 n+1

-

a

2 n

+2a_n+1-2a_n，…（2分）
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵數列{a_n}各項均為正數
∴a_n+1-a_n=2，…（4分）
∴數列{a_n}為首項為1，公差為2的等差數列，
故a_n=2n-1…（6分）
（2）bn=qn-1，依題意得

qm-1=2m-1 qm=2m+5

，相除得q=

2m+5

2m-1

=1+

6

2m-1

∈N₊，…（8分）
∴2m-1=1或2m-1=3，代入上式得q=3或q=7，…（10分）
∴bn=7n-1或bn=3n-1．…（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．