Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；

（2）用定義證明函數在區間上為增函數；

（3）若函數在區間上的最大值與最小值之和不小于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數（2）詳見解析（3）[4,+∞)

【解析】

試題分析：（1）判斷出函數是奇函數再證明，確定函數定義域且關于原點對稱，利用奇函數的定義可判斷；

（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，證明按照取值、作差、變形定號、下結論步驟即可；（3）根據（2）的結論得函數在區間[2，a]上的單調性，再求出最大值、最小值，根據條件列出不等式求出a得范圍

試題解析：（1）函數是奇函數， 1分

∵函數的定義域為，在軸上關于原點對稱， 2分

且，

∴函數是奇函數. 3分

（2）證明：設任意實數，且， 4分

則， 5分

∵ ∴，

∴<0 ，

∴<0,即，

∴函數在區間上為增函數. 8分

（3）∵，

∴函數在區間上也為增函數. 9分

∴， 10分

若函數在區間上的最大值與最小值之和不小于，

則， ∴，

∴的取值范圍是[4,+∞). 12分