Question

已知二次函數y=g（x）在（-∞，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，最小值為m-1（m≠0），且y=g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行，設f（x）=

g(x)

x

．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）上的點P到點Q（0，-2）的距離的最小值為

2

，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f(|2x-1|)+k(

2

|2x-1|

-3)=0有三個不同的實數解，求實數k的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分析出拋物線y=g（x）頂點坐標為（1，m-1），可設g（x）=a（x-1）²+m-1（a≠0），求導g'（x）=2ax-2a；a=1．從而f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

-2，利用兩點距離公式建立關于x的函數，求出最小值的表達式，即可解出m值．
（Ⅱ）經過計算化簡，原方程化為|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，看作關于|2^x-1|的二次方程．再利用換元法、數形結合的思想求實數k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題可設g（x）=a（x-1）²+m-1（a≠0），則g'（x）=2a（x-1）=2ax-2a；
又g^′（x）的圖象與直線y=2x平行∴2a=2      a=1   
∴g（x）=（x-1）²+m-1=x²-2x+m，f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

-2，…（3分）
設P（x₀，y₀），則|PQ|²=x₀²+（y₀+2）²=x02+(x0+

m

x0

)2
=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m
當且僅當2

x

2 0

=

m2

x 2 0

時，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

2

當m＞0時，

(2 2 +2)m

=

2

  解得m=

2

-1
當m＜0時，

(-2 2 +2)m

=

2

   解得m=-

2

-1            …（7分）
（Ⅱ）m=1，方程f(|2x-1|)+k(

2

|2x-1|

-3)=0化為|2x-1|+

1+2k

|2x-1|

-(2+3k)=0，
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0
令|2^x-1|=t，則方程化為t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）
∵方程|2x-1|+

1+2k

|2x-1|

-(2+3k)=0有三個不同的實數解，
∴由t=|2^x-1|的圖象知，t²-（2+3k）t+（1+2k）=0有兩個根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或 0＜t₁＜1，t₂=1…（11分）
記?（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k）
則

?(0)=1+2k＞0 ?(1)=-k＜0

或  

?(0)=1+2k＞0 ?(1)=-k=0 0＜ 2+3k 2 ＜1

∴k＞0…（15分）

點評：本題考查二次函數圖象、性質，函數與導數、方程、數形結合的思想方法，以及換元、計算能力．