Question

已知二次函數y=g（x）的導函數的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）．設f（x）=

g(x)

x

．若曲線y=f（x）上的點P到點Q（0，2）的距離的最小值為

2

，求m的值．

Answer 1

分析：根據函數的形式及函數的極小值，設出g（x），求出g（x）的導函數，根據導函數是函數的斜率，列出方程，求出a的值；寫出函數f（x），設出點P的坐標，利用兩點距離公式表示出|PQ|²，利用基本不等式求出最小值，通過對m的符號的討論，求出m的值．

解答：解：依題可設g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
則g′（x）=2ax+2a；
又g′（x）的圖象與直線y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∴g（x）=x²+2x+m，
∵f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

+2，
設P（x₀，y₀），則|PQ|2=x02+(y0-2)2=2x02+

m2

x02

+2m
≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m
當且僅當2x02=

m2

x02

時，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

2

當m＞0時，

(2 2 +2)m

=

2

   解得m=

2

-1
當m＜0時，

(-2 2 +2)m

=

2

 解得m=-

2

-1

點評：本題考查函數在切點處的導數值是切線的斜率；利用基本不等式求函數的最值時，一定要注意需滿足的條件是：一正、二定、三相等．