Question

在一個選拔項目中，每個選手都需要進行4輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不影響．
（Ⅰ）求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核的概率；
（Ⅲ）該選手在選拔過程中回答過的問題的個數記為X，求隨機變量X的分布列和期望．

Answer 1

解：設事件A_i（i=1，2，3，4）表示“該選手能正確回答第i輪問題”，
由已知，，，，
（Ⅰ）設事件B表示“該選手進入第三輪被淘汰”，
則=．
（Ⅱ）設事件C表示“該選手至多進入第三輪考核”，
則=．
（Ⅲ）X的可能取值為1，2，3，4.，，，，
所以，X的分布列為

．
分析：（Ⅰ）求該選手進入第三輪才被淘汰即第一、二輪均通過，而第三輪未通過，利用獨立事件的概率求解即可．
（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核分為三類，第一輪被淘汰、第二輪被淘汰、第三輪被淘汰，此三類事件互斥，分別求概率取和即可．
（Ⅲ）X的所有可能取值為1，2，3，4，分別求概率即可．
點評：本題考查相互獨立事件的概率和隨機事件的分布列、期望問題，考查運用概率知識解決實際問題的能力．