Question

在一個(gè)選拔項(xiàng)目中，每個(gè)選手都需要進(jìn)行4輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問(wèn)題的概率分別為

5

6

、

4

5

、

3

4

、

1

3

，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．
（Ⅰ）求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率；
（Ⅲ）該選手在選拔過(guò)程中回答過(guò)的問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰即第一、二輪均通過(guò)，而第三輪未通過(guò)，利用獨(dú)立事件的概率求解即可．
（Ⅱ）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核分為三類，第一輪被淘汰、第二輪被淘汰、第三輪被淘汰，此三類事件互斥，分別求概率取和即可．
（Ⅲ）X的所有可能取值為1，2，3，4，分別求概率即可．

解答：解：設(shè)事件A_i（i=1，2，3，4）表示“該選手能正確回答第i輪問(wèn)題”，
由已知P(A1)=

5

6

，P(A2)=

4

5

，P(A3)=

3

4

，P(A4)=

1

3

，
（Ⅰ）設(shè)事件B表示“該選手進(jìn)入第三輪被淘汰”，
則P(B)=P(A1A2

.

A

3)=P(A1)P(A2)P(

.

A

3)=

5

6

×

4

5

×(1-

3

4

)=

1

6

．
（Ⅱ）設(shè)事件C表示“該選手至多進(jìn)入第三輪考核”，
則P(C)=P(

.

A

1+A1

.

A

2+A1A2

.

A

3)=P(

.

A

1)+P(A1

.

A

2)+P(A1A2

.

A

3)=

1

6

+

5

6

×

1

5

+

5

6

×

4

5

×(1-

3

4

)=

1

2

．
（Ⅲ）X的可能取值為1，2，3，4.P(X=1)=P(

.

A

1)=

1

6

，P(X=2)=P(A1

.

A

2)=

5

6

×(1-

4

5

)=

1

6

，P(X=3)=P(A1A2A3

.

A4

)=

5

6

×

4

5

×

3

4

×

1

3

=

1

6

，P(X=4)=P(A1A2A3)=

5

6

×

4

5

×

3

4

=

1

2

，
所以，X的分布列為

E(X)=1×

1

6

+2×

1

6

+3×

1

6

+4×

1

2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率和隨機(jī)事件的分布列、期望問(wèn)題，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．