【題目】已知橢圓
（
）的一個焦點
與拋物線
的焦點重合，截拋物線的準線所得弦長為1.
（1）求橢圓
的方程；
（2）如圖所示，
，
，
是橢圓的頂點，
是橢圓上除頂點外的任意一點，直線
交
軸于點
，直線
交
于點
，設的斜率為
，
的斜率為
.證明：
為定值.
【答案】（1）
；（2）詳見解析.
【解析】
（1）由橢圓與拋物線的焦點相同可知橢圓的焦點為
,即
,且拋物線的準線為
,再由弦長為1可得橢圓與準線的一個交點為
,即可代入橢圓方程中,進而求解即可；
（2）由（1）可得點
的坐標,設直線
的方程為
（
,
）,與橢圓方程聯立可得點
的坐標,由直線
的方程為
與直線的方程聯立可得點
的坐標,再根據
三點共線可得點
的坐標,即可求得
的斜率
,進而得證.
（1）解:由題,橢圓焦點即為拋物線
的焦點為,準線方程為,
①,
又橢圓截拋物線的準線所得弦長為1,
∴可得一個交點為,
②,由①②可得
,
從而
,
∴該橢圓的方程為
（2）證明:由（1）可得
,且點不為橢圓頂點,
則可設直線的方程為（,）,③
③代入,解得
,
因為直線的方程為④
③與④聯立解得
,
由
,,
三點共線知
,即
,解得
,
所以的斜率為
,
則
（定值）.
巧學巧練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖有一景區的平面圖是一半圓形，其中直徑長為
兩點在半圓弧上滿足
，設
，現要在景區內鋪設一條觀光通道，由
和 
組成.
（1）用
表示觀光通道的長
，并求觀光通道的最大值；
（2）現要在景區內綠化，其中在
中種植鮮花，在
中種植果樹，在扇形
內種植草坪，已知單位面積內種植鮮花和種植果樹的利潤均是種植草坪利潤的
倍，則當為何值時總利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]
D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）證明：[0，1]是函數y=f（x）=x2的一個“和諧區間”．
（2）求證：函數
不存在“和諧區間”．
（3）已知：函數
（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
（m，n為常數），在
處的切線方程為
．
（Ⅰ）求
的解析式并寫出定義域；
（Ⅱ）若
，使得對
上恒有
成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若
有兩個不同的零點
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角梯形
中，
，
，
、
分別是
、
的中點，將三角形
沿
折起，則下列說法正確的是______________.
（1）不論
折至何位置（不在平面
內），都有
平面
；
（2）不論折至何位置，都有
；
（3）不論折至何位置（不在平面內），都有
；
（4）在折起過程中，一定存在某個位置，使
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數集
由實數構成，且滿足：若
（
且
），則
.
（1）若
，試證明中還有另外兩個元素；
（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由；
（3）若中元素個數不超過8個，所有元素的和為
，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合.
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