Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）若函數有兩個不同極值點，求實數的取值范圍；

（3）當時，求證：對任意，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）當時,求導數，將切點橫坐標帶入導數得到斜率，再計算切線方程.

（2）求導，取導數為0，參數分離得到，設右邊為新函數，求出其單調性，求得取值范圍得到答案.

（3）將導函數代入不等式，化簡得到，設左邊為新函數，根據單調性得到函數最值，得到證明.

（1）當時，．

∴

∴，又∵

∴，即

∴函 數 在點處的切線方程為．

（2）由題意知，函數的定義域為， ，

令，可得，

當時，方程僅有一解，∴，

∴

令

則由題可知直線與函數的圖像有兩個不同的交點．

∵

∴當時，，為單調遞減函數；

當時，，為單調遞增函數．

又∵，，且當時，

∴，

∴

∴實數的取值范圍為．

（3）∵

∴要證對任意，恒成立

即證成立

即證成立

設

∴

∵時，易知在上為減函數

∴

∴在上為減函數

∴

∴成立

即對任意，恒成立．