Question

（2012•昌平區一模）（坐標系與參數方程選做題） 若直線l：x-

3

y=0與曲線C：

x=a+ 2 cos? y= 2 sin?

（?為參數，a＞0）有兩個公共點A，B，且|AB|=2，則實數a的值為

2

；在此條件下，以直角坐標系的原點為極點，x軸正方向為極軸建立坐標系，則曲線C的極坐標方程為

ρ²-4ρcosθ+2=0

．

Answer 1

分析：利用同角三角函數的基本關系消去參數∅，化為普通方程為 （x-a）²+y²=2 ①，求出圓心C到直線的距離d，由弦長公式求得實數a的值；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入①化簡可得
曲線C的極坐標方程．

解答：解：由曲線C：

x=a+ 2 cos? y= 2 sin?

（?為參數，a＞0），可得

2

cos∅=x-a，

2

sin∅=y，
平方相加可得 （x-a）²+y²=2 ①，表示以C（a，0）為圓心，以

2

為半徑的圓，
圓心C到直線l：x-

3

y=0的距離等于d=

|a- 3 ×0|

1+3

=

a

2

，
再由弦長公式可得

|AB|

2

=1=

r2-d2

=

2- a2 4

，解得a=2．
①即 （x-2）²+y²=2 ②，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入②，化簡可得 ρ²-4ρcosθ+2=0，
故答案為 2，ρ²-4ρcosθ+2=0．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式，把直角坐標方程化為極坐標方程，屬于基礎題．