Question

（2008•中山市模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

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AD，若E、F分別為PC、BD的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質，可得線線平行，進而可得線面平行；
（2）先證明線面垂直，再證明面面垂直即可．

解答：證明：（1）連接AC，則F是AC的中點，在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD                              …（5分）
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA        …（8分）
又PA=PD=

2

2

AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

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，即PA⊥PD        …（10分）
∵CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，
∵PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PDC       …（12分）

點評：本題考查線面平行、面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．