Question

（本小題滿分13分）

對于定義域分別為的函數，規定：

函數

若函數,求函數的取值集合；

若，設為曲線在點處切線的斜率；而是等差數列，公差為1，點為直線與軸的交點，點的坐標為。求證：；

若，其中是常數，且，請問，是否存在一個定義域為的函數及一個的值，使得，若存在請寫出一個的解析式及一個的值，若不存在請說明理由。

Answer 1

解（1）由函數

          可得

          從而

          當時，

         當時，

         所以的取值集合為     …………………………….5分

（2）易知所以

     所以

     顯然點在直線上，且

     又是等差數列，公差為1

     所以

故，又

所以

所以

   

                ……………………………………………..8分

（3）由函數的定義域為，得的定義域為

     所以，對于任意,都有

     即對于任意,都有

     所以，我們考慮將分解成兩個函數的乘積，而且這兩個函數還可以通過平移相互轉化

    

         

     所以，令，且，即可    ………………………………..13分

    又

    所以，令，且，即可（答案不唯一）