Question

已知f(x)=

3

sin(x+

π

3

)-cosx．
（I）求f（x）在[0，π]上的最小值；
（II）已知a，b，c分別為△ABC內角A、B、C的對邊，b=5

3

，cosA=

3

5

，且f（B）=1，求邊a的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）的解析式的第一項利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，去括號整理后再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦公式化為一個角的正弦函數，根據x的范圍，得出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質得出f（x）的值域，即可確定出f（x）的最小值；
（II）由f（B）=1，將x=B代入函數f（x）的解析式，根據正弦函數的圖象與性質得到關于x的方程，根據B為三角形的內角，可得出B的度數，進而確定出sinB的值，由cosA的值，以及A為三角形的內家，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，再由b的值，利用正弦定理即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-cosx
=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
∵

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴x=π時，f（x）_min=-

1

2

；
（II）∵f（B）=1，
∴x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，又B為三角形的內角，
∴B=

π

3

，
∵cosA=

3

5

，∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
又b=5

3

，
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，得a=

bsinA

sinB

=

5 3 × 4 5

3 2

=8．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的圖象與性質，正弦函數的定義域與值域，同角三角函數間的基本關系，以及正弦定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．