Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.

（1）當a＞0時，若函數f（x）在區間[1，3]上的最小值為，求a的值；

（2）討論函數g（x）＝f′（x）﹣零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）首先求解導函數，然后分類討論求解實數的值即可；（2）首先求解導函數，然后進行二次求導，結合二階導函數的解析式討論函數的零點個數即可.

解：（1），

當0＜a≤1時，f’（x）＞0在（1，3）上恒成立，這時f（x）在[1，3]上為增函數，

∴f（x）min＝f（1）＝a﹣1，令得（舍去），

當1＜a＜3時，由f’（x）＝0得，x＝a∈（1，3），

若x∈（1，a），有f’（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數，

若x∈（a，3）有f’（x）＞0，f（x）在[a，3]上為增函數，

f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.

當a≥3時，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，這時f（x）在[1，3]上為減函數，

∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.

綜上知.

（2）∵函數，

令g（x）＝0，得.

設，，

當x∈（0，1）時，φ'（x）＞0，此時φ（x）在（0，1）上單調遞增，

當x∈（1，+∞）時，φ’（x）＜0，此時φ（x）在（1，+∞）上單調遞減，

所以x＝1是φ（x）的唯一極值點，且是極大值點，因此x＝1也是（x）的最大值點，

φ（x）的最大值為.

又φ（0）＝0，結合φ（x）的圖象可知：

①當時，函數g（x）無零點；

②當時，函數g（x）有且僅有一個零點；

③當時，函數g（x）有兩個零點；

④a≤0時，函數g（x）有且只有一個零點；

綜上所述，當時，函數g（x）無零點；當或a≤0時，函數g（x）有且僅有一個零點；

當時，函數g（x）有兩個零點.