Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+3在x=2時取得最小值，且函數f（x）的圖象在x軸上截得的線段長為2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=f（x）﹣mx的一個零點在區間（0，2）上，另一個零點在區間（2，3）上，求實數m的取值范圍．
（3）當x∈[t，t+1]時，函數f（x）的最小值為﹣ ，求實數t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為二次函數f（x）=ax2+bx+3在x=2時取得最小值，

所以 =2，即b=﹣4a，

所以f（x）=ax2﹣4ax+3，

設函數f（x）的圖象在x軸上的兩個交點分別為（x1，0），（x2，0），

所以|x1﹣x2|= ﹣2，

所以a=1．

所以f（x）=x2﹣4x+3

（2）解：g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+4）x+3

因為函數g（x）的一個零點在區間（0，2）上，另一個零點在區間（2，3）上．

所以

所以﹣ ＜a＜0

（3）解：由（1）知，f（x）=x2﹣4x+3的對稱軸是x=2，

①當t+1≤2時，即t≤1時，函數f（x）在區間[t，t+1]上是單調減函數，

所以當x=t+1時，函數取最小值t2﹣2t= ，

解得：t=1﹣ ．

②當t＜2＜t+1時，即1＜t＜2時，

當x=2時，函數取最小值﹣1≠ ，

③當t≥2時，函數f（x）在區間[t，t+1]上是單調增函數，

所以當x=t時，函數取最小值t2﹣4t+3= ，

解得：t=2+ ．

綜合上所述，t=1﹣ 或t=2+

【解析】（1）由已知中二次函數f（x）=ax2+bx+3在x=2時取得最小值，且函數f（x）的圖象在x軸上截得的線段長為2．求出a，b值，可得函數f（x）的解析式；（2）若函數g（x）=f（x）﹣mx的一個零點在區間（0，2）上，另一個零點在區間（2，3）上，則 ，解得實數m的取值范圍．（3）由（1）知，f（x）=x2﹣4x+3的對稱軸是x=2，分析給定區間與對稱的位置關系，結合當x∈[t，t+1]時，函數f（x）的最小值為﹣ ，分類討論，可得實數t的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．