【題目】有2012位學者參加某數(shù)學會議，他們中有些人相互認識，且滿足：
（1）每個人至少認識其中的671個人；
（2）對于其中任意兩個人
、
，若、相互不認識，則總可以通過其他人間接認識，即存在
，使得認識
，
認識
，
認識；
（3）不可以將2012位學者排成一排，使得相鄰的兩個人相互認識.
證明：可以將2012位學者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認識，另一組任何兩個人不認識.
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【題目】（本小題滿分13分）
為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率
②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望;
（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.
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【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若直線
與曲線
的交點的橫坐標為
，且
，求整數(shù)
所有可能的值.
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【題目】平面上有奇數(shù)條線段，甲乙兩人做如下游戲：兩人輪流（甲先乙后）給任一條尚未設(shè)定方向的線段設(shè)定一個方向，直至某次（甲）設(shè)定后，所有線段各有了一個方向為止.如果最后得到的所有向量之和的模長不小于原來每條線段長，則甲獲勝，否則乙獲勝.問：誰有必勝策略？證明你的結(jié)論.
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【題目】對于正整數(shù)
，若存在1，2，…，的一個排列
滿足
（
），則稱為“循球數(shù)”.證明：
（1）9、11都是循環(huán)數(shù)；
（2）為循環(huán)數(shù)的一個必要不充分條件是
為質(zhì)數(shù).
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【題目】為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網(wǎng)絡(luò)知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：
，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求
的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（2）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合計 | 100 |
參考公式及數(shù)據(jù)：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知函數(shù)
（
為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）當
時，
恒成立，求整數(shù)
的最大值.
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