【題目】設函數
.
(1)求函數
的極值點個數；
(2)若
，證明
.
【答案】（1）2個（2）詳見解析
【解析】
(1)由
是奇函數，把問題轉化成
的極值點個數問題，求出
，把的正負問題轉化成
正負來處理，求出
，判斷
的單調性，結合函數零點判斷方法即可判斷在區間
上存在唯一的
使
.在
上不存在
使得
，問題得解。
(2)利用（1）中的結論可知：
在區間內恒成立.令
，可將問題轉化成
，問題得證。
解：（1）因為為奇函數，其圖像關于原點對稱，所以只需考慮
上的極值點個數，
，時，
.
令，
，
∴當
時，
，單調遞減，
當
時，
，單調遞增，
∴
.
取
，
，
∴在區間上存在唯一的使.
∴在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增.
又為奇函數，
∴在區間
上單調遞增，在區間
上單調遞減，在區間上單調遞增，
∴的極值點共2個.
（2）由（1）可知在區間內單調遞減，且
恒成立.
∴時，
，
即得.
又令
，
得
.
∴ 
天天向上口算本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一種拋硬幣游戲的規則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分．
（1）設拋擲5次的得分為
，求
的分布列和數學期望
；
（2）求恰好得到
分的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某工廠每天的固定成本是4萬元，每生產一件產品成本增加100元，工廠每件產品的出廠價定為a元時，生產x件產品的銷售收入為
（元），
為每天生產x件產品的平均利潤（平均利潤=總利潤/總產量）.銷售商從工廠每件a元進貨后又以每件b元銷售，
，其中c為最高限價
，
為該產品暢銷系數.據市場調查，由當
是
的比例中項時來確定.
（1）每天生產量x為多少時，平均利潤取得最大值？并求出的最大值；
（2）求暢銷系數的值；
（3）若
，當廠家平均利潤最大時，求a與b的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】曲線
的參數方程為
（t為參數），以原點為極點，
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線
關于對稱．
(1)求極坐標方程，
直角坐標方程；
(2)將向左平移4個單位長度，按照
變換得到
與兩坐標軸交于
兩點，
為
上任一點，求
的面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(12分) 由0，1，2，3，4，5這六個數字。
（1）能組成多少個無重復數字的四位數？
（2）能組成多少個無重復數字的四位偶數？
（3）能組成多少個無重復數字且被25個整除的四位數？
（4）組成無重復數字的四位數中比4032大的數有多少個？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】曲線
的參數方程為
（t為參數），以原點為極點，
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線
關于對稱．
(1)求極坐標方程，
直角坐標方程；
(2)將向左平移4個單位長度，按照
變換得到
與兩坐標軸交于
兩點，
為
上任一點，求
的面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的一條漸近線與
軸所成的夾角為
，且雙曲線的焦距為
.
(1)求橢圓
的方程；
(2)設
分別為橢圓
的左，右焦點，過
作直線
(與
軸不重合)交橢圓于
， 
兩點，線段
的中點為
，記直線
的斜率為
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
且橢圓上存在一點
，滿足
.
(1)求橢圓
的標準方程；
(2)已知
分別是橢圓的左、右頂點，過
的直線交橢圓于
兩點，記直線
的交點為
，是否存在一條定直線
，使點恒在直線上?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有2012位學者參加某數學會議，他們中有些人相互認識，且滿足：
（1）每個人至少認識其中的671個人；
（2）對于其中任意兩個人
、
，若、相互不認識，則總可以通過其他人間接認識，即存在
，使得認識
，
認識
，
認識；
（3）不可以將2012位學者排成一排，使得相鄰的兩個人相互認識.
證明：可以將2012位學者分成兩組，其中一組能夠排成一圈，使得相鄰的人相互認識，另一組任何兩個人不認識.
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